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对数函数及其性质

来源:学大教育     时间:2014-04-29 15:20:40


就高中的学习来讲,其中的对数函数是许多考生比较头疼的事情,对对数函数有一个好的了解会使自己更好地学好对数函数,是自己更好地迎战考试,所以,今天,就为大家提供以下的对数函数及其性质,希望大家好好的利用。

定义域求解:对数函数y=logax 的定义域是{x 丨x>0},但如果遇到对数型复合函数的定义域的求解,除了要注意大于0以外,还应注意底数大于0且不等于1,如求函数y=logx(2x-1)的定义域,需同时满足x>0且x≠1

和2x-1>0 ,得到x>1/2且x≠1,即其定义域为 {x 丨x>1/2且x≠1}

值域:实数集R,显然对数函数无界。

定点:函数图像恒过定点(1,0)。

单调性:a>1时,在定义域上为单调增函数;

 

对数的图像

 

对数的图像0

奇偶性:非奇非偶函数

周期性:不是周期函数

对称性:无

最值:无

零点:x=1

注意:负数和0没有对数。

两句经典话:底真同对数正,底真异对数负。解释如下:

也就是说:若y=logab (其中a>0,a≠1,b>0)

当00;

当a>1, b>1时,y=logab>0;

当01时,y=logab<0;

当a>1, 0

指数函数的求导:

e的定义:e=lim(x→∞)(1+1/x)x=2.718281828...

设a>0,

a!=1----(log a(x))'

=lim(Δx→0)((log a(x+Δx)-log a(x))/Δx)

=lim(Δx→0)(1/x*x/Δx*log a((x+Δx)/x))

=lim(Δx→0)(1/x*log a((1+Δx/x)x/Δx))

=1/x*lim(Δx→0)(log a((1+Δx/x)x/Δx))

=1/x*log a(lim(Δx→0)(1+Δx/x)x/Δx)

=1/x*log a(e)

特殊地,当a=e时,(log a(x))'=(ln x)'=1/x。

----设y=ax两边取对数ln y=xln a两边对求x导y'/y=ln ay'=yln a=a^xln a

特殊地,当a=e时,y'=(ax)'=(ex)'=e^ln ex=ex。

4运算性质编辑

一般地,如果a(a>0,且a≠1)的b次幂等于N,那么数b叫做以a为底N的对数,记作logaN=b,其中a叫做对数的底数,N叫做真数。

 

对数函数化简问题

 

对数函数化简问题

底数则要>0且≠1 真数>0

并且,在比较两个函数值时:

如果底数一样,真数越大,函数值越大。(a>1时)

如果底数一样,真数越小,函数值越大。(0

当a>0且a≠1时,M>0,N>0,那么:

(1)loga(MN)=logaM+logaN;

(2)loga(M/N)=logaM-logaN;

(3)logaMn=nlogaM(n∈R)

(4)

 

 

(5)换底公式:log(a)M=log(b)M/log(b)A (a>0且a≠1;b>0且b≠1)

(6)a(log(b)n)=n(log(b)a) 证明:

设a=nx则alog(b)n=(nx)log(b)n=n(x*log(b)n)=nlog(b)(n^x)=n(log(b)a)

(7)对数恒等式:alog(a)N=N;

log(a)ab=b

(8)由幂的对数的运算性质可得(推导公式)

1.log(a)M^(1/n)=(1/n)log(a)M , log(a)M^(-1/n)=(-1/n)log(a)M

2.log(a)M^(m/n)=(m/n)log(a)M , log(a)M^(-m/n)=(-m/n)log(a)M

3.log(a^n)M^n=log(a)M , log(a^n)M^m=(m/n)log(a)M

4.log(以 n次根号下的a 为底)(以 n次根号下的M 为真数)=log(a)M ,

log(以 n次根号下的a 为底)(以 m次根号下的M 为真数)=(n/m)log(a)M

5.log(a)b×log(b)c×log(c)a=1

5表达方式编辑

(1)常用对数:lg(b)=log10b(10为底数)

(2)自然对数:ln(b)=logeb(e为底数)

e为无限不循环小数,通常情况下只取e=2.71828 对数函数的定义

6与指数的关系编辑

同底的对数函数与指数函数互为反函数

当a>0且a≠1时,ax=N x=㏒(a)N

关于y=x对称

对数函数的图形只不过是指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形,因为它们互为反函数。

对数函数的一般形式为 y=㏒(a)x,它实际上就是指数函数的反函数(图象关于直线y=x对称的两函数互为反函数),可表示为x=ay。因此指数函数里对于a的规定(a>0且a≠1),右图给出对于不同大小a所表示的函数图形: 关于X轴对称、

可以看到对数函数的图形只不过是指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形,因为它们互为反函数。

高考是人生的最为重要一步,所以,我们应该尽最大的努力是自己更好地迎战高考,并在高考中取得优异的成绩,所以,上面有关的对数函数及其性质,大家要好好的利用。

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